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III - Conceptos Matemáticos Útiles
Los temas más importantes que hay que saber son el despeje de incógnitas y el manejo de las unidades. Otros temas pueden ser usados o no, pero son los que se usan en los estudios importantes.
Algunas expresiones y sus desarrollos
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2 + 2ab + b2
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = (a2 + 2ab + b2)(a+b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 +b3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
(a2-b2) = (a+b)(a-b)
Simbología
Lo importante sobre las funciones
Todas las ecuaciones son funciones, ya que dejando fijos algunos valores y variando otros pueden obtenerse relaciones y gráficos de una variable en función de otra. Al nivel de este libro, se puede utilizar principalmente para ver variaciones y estudiar tangentes.
Algo importante es el estudio de las rectas tangentes a la curva de una función. Recordar que la tangente es igual a la variación en el eje y dividido por la variación del eje x:
Así, la tangente en un punto de una curva de posición en función del tiempo es igual a la velocidad instantánea en ese tiempo:
Por ejemplo, para el gráfico de la posición (x) en función del tiempo (t) tomando x0 = 1m, v0 = 1m/s y a = 1m/s2, es x = 1m + 1m/s∙t + ½∙1m/s2∙t2. La gráfica es la parábola (en azul):
Para conocer la velocidad instantánea en t = 10s, se traza una recta tangente a la parábola. Luego se calcula el cociente entre el incremento en el eje y (60m - 0m = 60m) y el incremento en el eje x (10s - 4,5s = 5,5s). Este cociente es igual a la velocidad instantánea a los 10s.
En este ejemplo, la velocidad es v = 60m/5,5s = 10,9090 m/s.
Función derivada (Recomiendo ver esta página de cálculo)
En el ítem anterior se explicó cómo obtener la tangente de una curva en un punto. La derivada de una función es una nueva función que, dando valores a x, devuelve un número igual a la tangente de la función original en ese punto.
Dada f (x), su derivada f '(x) se calcula así:
Así, la derivada de la función que da la posición en función del tiempo es una función que da la velocidad en función del tiempo.
Por ejemplo, si la función que da la posición en función del tiempo es f(x) = x0 + v0t + ½at2, donde t es la variable independiente, para obtener una función que nos de la velocidad en cualquier punto t es:
Arribamos a que v = v0 + at, la ecuación informada por la litaratura.
Ahora podemos calcular la velocidad en cualquier tiempo. Por ejemplo, para corroborar que la velocidad a los 10s calculada anteriormente es correcta, hacemos v = 1m/s + 1m/s2∙10s = 11m/s. Notar que este resultado es muy parecido al anterior. 11m/s es el resultado más exacto, ya que el método anterior acarrea errores de medición.
Para aprender a calcular límites y derivadas de manera rápida, entrá acá.
Logaritmos
Por definición, es:
Donde b es la base. Una base especial es el número e=2.718281828... Los logaritmos de esta base se llaman logaritmos naturales o neperianos:
Algunas propiedades de los logaritmos:
Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c, que se resuelve aplicando la resolvente de la ecuación de segundo grado:
La ecuación arroja dos resultados, de los cuales puede servir solo uno o ambos.
Para que los coeficientes a, b y c sean correctos, la ecuación debe ordenarse así: ax2 + bx + c = 0